Chứng minh rằng các bất đẳng thức

- Hướng dẫn giải

a) Ta có: x5 – 1 = (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

Lại có: x – 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x5 > x4 > x3 > x2 > x > 1

⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < x4 + x3 + x2 + x + 1 < x4 + x4 + x4 + x4 + x4

hay 5 < x4 + x3 + x2 + x + 1 < 5x4

⇒ 5.(x – 1) < (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) < 5x4.(x – 1)

hay 5.(x – 1) < x5 – 1 < 5x4.(x – 1) (đpcm)

b) x5 + y5 – x4y – xy4 = (x5 - x4y) - (xy4 - y5)

= x4.(x – y) – y4.(x – y)

= (x4 – y4).(x – y)

= (x2 + y2)(x2 – y2)(x – y)

= (x2 + y2).(x + y)(x – y)(x – y)

= (x2 + y2)(x + y)(x – y)2

Mà x2 + y2 ≥ 0; x + y ≥ 0; (x – y)2 ≥ 0

⇒ x5 + y5 – x4y – xy4 ≥ 0.

c) Ta có: 

Tương tự. 4b +1 >0 và 4c +1 > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương  và 1 ta có:

Không có giá trị nào của a, b, c thỏa mãn hệ trên nên dấu “=” của BĐT không xảy ra.