Cho hệ phương trình

- Hướng dẫn giải

Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*) thế vào PT (2) ta được:

$x+(a–1)\left[\right(a+1)x–(a+1\left)\right]=2\iff x+(a^2–1)x–(a^2–1)=2$

$\iff a^{2}x=a^2+1 \left(3\right)$

Với a ≠ 0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$. Thay vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} y=(a+1)\frac{a^2+1}{a^2}-(a+1)=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a+1\right)}{a^2} \\ =\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2} \end{gathered}$$  

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên:$\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{Z}\\ y\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\\ \frac{a+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\end{array}\right.(a\in \mathrm{\mathbb{Z}})$ 

Điều kiện cần: $x=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\iff \frac{1}{a^2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ mà $a^2>0 \Rightarrow a^2=1$

$\iff a=\pm 1(TM a\ne 0)$

Điều kiện đủ:

a = −1$\Rightarrow$ y = 0  (nhận)

a = 1$\Rightarrow$ y = 2  (nhận) 

Vậy $a=\pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Đáp án: D