Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì...

- Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

$B{M}^2=B{D}^2+D{M}^2\Rightarrow B{D}^2=B{M}^2-D{M}^2$    (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

$C{M}^2=C{E}^2+E{N}^2\Rightarrow C{E}^2=C{M}^2-E{M}^2$    (2)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

$A{M}^2=A{F}^2+F{M}^2\Rightarrow A{F}^2=A{M}^2-F{M}^2$   (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=B{M}^2-D{M}^2+C{M}^2-E{M}^2+A{M}^2-F{M}^2$  (4)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

$B{M}^2=B{F}^2+F{M}^2$     (5)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

$C{M}^2=C{D}^2+D{M}^2$     (6)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

$A{M}^2=A{E}^2+E{M}^2$     (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

$$\begin{gathered} B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2 \\ =B{F}^2+F{M}^2-D{M}^2+C{D}^2+D{M}^2-E{M}^2+A{E}^2+E{M}^2-F{M}^2 \\ =D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2 \end{gathered}$$

Vậy $B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2$