Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} {-ax}^{2} - 3 a x + 4$ với a là tham số. Biết $a_{0}$ là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{{x_{1}}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{{x_{2}}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a} = 2.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a_{0} \in (- 10; - 7)$

B. $a_{0} \in (7; 10)$

C. $a_{0} \in (- 7; - 3)$

D. $a_{0} \in (1; 7)$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án là C.

Ta có $y^{'} = x^{2} - 2 a x - 3 a$ .

Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow x^{2} - 2 a x - 3 a = 0$ (*) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow a^{2} + 3 a > 0 \Leftrightarrow a \in (- \infty; - 3) \cup (0; + \infty)$ (1).

Khi đó hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}$ , $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Ta có $x_{1}^{2} - 2 a x_{1} - 3 a = 0 \Rightarrow x_{1}^{2} = 2 a x_{1} + 3 a$ ; tương tự $x_{2}^{2} = 2 a x_{2} + 3 a$ .

$\frac{x_{1}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{x_{2}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{2 a x_{1} + 3 a + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{2 a x_{2} + 3 a + 2 a x_{1} + 9 a} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{2 a (x_{1} + x_{2}) + 12 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{2 a (x_{1} + x_{2}) + 12 a} = 2$ $\Leftrightarrow \frac{4 a^{2} + 12 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{4 a^{2} + 12 a} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{4 a + 12}{a} + \frac{a}{4 a + 12} = 2$

$\Leftrightarrow {(4 a + 12)}^{2} + a^{2} = 2 a (4 a + 12) \Leftrightarrow 9 a^{2} + 72 a + 144 = 0$

$\Leftrightarrow a = - 4$ (thỏa mãn điều kiện (1)).

Vậy $a_{0} = - 4$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp 25 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay, chọn lọc có lời giải !!

↑

Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số y=13x3-ax2−3ax+4 với a là tham số. Biết a0 là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm x1,x2 thỏa mãn x12+2ax2+9aa2+a2x22+2ax1+9a=2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?