Tính nguyên hàm \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx} \) ta...

D

- Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \sqrt {a - x}  \Rightarrow {t^2} = a - x \)

\(\Leftrightarrow x = a - {t^2} \Rightarrow dx =  - 2t\,dt\)

Khi đó ta có: \(\int {x\sqrt {a - x} \,dx}  =  - 2\int {\left( {a - {t^2}} \right){t^2}dt\,} \)

\(=  - 2\int {\left( {a{t^2} - {t^4}} \right)} \,dt\)\(\, =  - 2\left( {\dfrac{{a{t^3}}}{3} - \dfrac{{{t^5}}}{5}} \right) + C \)

\(= \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}a{t^3} + C \)

\(= \dfrac{2}{5}{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{2}{3}a{\left( {a - x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)