Tìm các giá trị của m để phương trình

- Hướng dẫn giải

Phương trình x² – 2(m + 1)x + 2m = 0 có a = 1 ≠ 0 và

$∆\text{'}={(m+1)}^2–2m=m^2+1>0$ với mọi  m;  nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1; x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)\\ x_1.x_2=2m\end{array}\right.$

Xét $x_1^3+x_2^3=8$

$\iff {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)=8$

$\iff {\left[2\right(m + 1\left)\right]}^3 – 3.2m.\left[2\right(m + 1\left)\right] = 8$

$$\begin{gathered} \iff 8 (m^3+3m^2+3m+1)–6m(2m+2)=8 \\ \iff 8m^3+12m^2+12m=0 \end{gathered}$$

$\iff m (2m^2 +3m+3)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ 2m^2+3m+3=0\end{array}\right.$

Phương trình $2m^2+3m+3=0 có {∆}_1=3^2–4.2.3=-15<0$ nên phương trình này vô nghiệm

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C