Cho đồ thị hàm số

Câu hỏi: Cho đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 m x + 1$ có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tạo O (O là gốc tọa độ). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $- 1 < m < \frac{1}{3}$

B. $1 < m < 3$

C. $- \frac{1}{2} < m < 1$

D. $- 2 < m < 0$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Có $y^{'} = - 3 x^{2} + 3 m$ . Hàm số có 2 cực trị khi $m > 0$ và khi đó 2 điểm cực trị là $A (- \sqrt{m}; - 2 m \sqrt{m} + 1); B (\sqrt{m}; 2 m \sqrt{m} + 1)$ .

$O A B$ là tam giác vuông $\Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = 0 \Leftrightarrow - m + 1 - 4 m^{3} = 0 = \Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \in (- \frac{1}{2}; 1)$