Một con đường được xây dựng giữa h...

Câu hỏi: Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B, hai thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông. Người ta cần xây một cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố A cách bờ sông một khoảng bằng 1 km, thành phố B cách bờ sông một khoảng bằng 4 km, khoảng cách giữa hai đường thẳng đi qua A,B và vuông góc với bờ sông là 10 km (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là nhỏ nhất

A. CM = 10km

B. CM = 1km

C. CM = 2km

D. CM = 2,5km

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đặt CM = x (với $0 \leq x \leq 10$ ) thì $D N = 10 - x$

Khi đó $A M = \sqrt{x^{2} + 1}$ và $B N = B N = \sqrt{{(10 - x)}^{2} + 16} = \sqrt{x^{2} - 20 x + 116}$

Tổng quảng đường đi từ thành phố A đến thành phố B là

Do MN không đổi nên tổng quảng đường nhỏ nhất khi và chỉ khi

$A M + B N = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 20 x + 116}$

nhỏ nhất.

Xét hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 20 x + 116}$ với $x \in [0; 10]$

Ta có $f' (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{x - 10}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 116}}$

Khi đó

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow x \sqrt{x^{2} - 2 x + 116} = (10 - x) \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} - 20 x + 116) = (x^{2} - 20 x + 100) (x^{2} + 1) \Leftrightarrow 16 x^{2} = x^{2} - 20 x + 100 \Leftrightarrow 15 x^{2} + 20 x - 100 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{10}{3}; x = 2$

Do $x \in [0; 10]$ nên ta chọn x = 2

Ta có $f (0) = 11; f (2) = 5 \sqrt{5}; f (10) = 2 + \sqrt{101}$

Suy ra $\underset{x \in [0; 10]}{m i n} f (x) = 5 \sqrt{5} \Leftrightarrow x = 2$

Vậy CM = 2km

Đáp án C

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết !!

↑