Tìm giá trị của tham số m để phương trình \(\log _...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Khi giải phương trình bậc hai với ẩn \({\log _a}x\) cần đặt điều kiện cho biến x và nên đặt ẩn phụ \(t = {\log _a}x\) cho ngắn gọn và dễ làm. Sau khi đặt ẩn phải chú ý đặt điều kiện cho ẩn phụ và làm bài toán dựa vào phương trình ẩn phụ.

+) Biến đổi phương trình đã cho về dạng: \(f\left( t \right) = g\left( m \right)\).

+) Xét số nghiệm của phương trình trên đoạn đã cho là số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = g\left( m \right)\)trên đoạn cần tìm.

+) Dựa vào bảng biến thiên để đưa ra khoảng đúng của ẩn m.

Giải chi tiết:

Ta có :

\(x \in \left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right] \Leftrightarrow 0 \le {\log _3}x \le \sqrt 3  \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {\log _3^2x + 1}  \le 2\)

Đặt \(t = \sqrt {\log _3^2x + 1} ,t \in \left[ {1;2} \right]\)

Phương trình trên trở thành :

\({t^2} + t - 2m - 6 = 0,t \in \left[ {1;2} \right] \Leftrightarrow f\left( t \right) = {t^2} + t - 6 = 2m,\,t \in \left[ {1;2} \right]\)

Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số

\(f\left( t \right) = {t^2} + t - 6,\,t \in \left[ {1;2} \right]\) và đường thẳng \(y = 2m\) . Lập bảng biến thiên khảo sát hàm số ta được kết quả \(m \in \left[ { - 2;0} \right].\)

Chọn D.