Tính \(I = \int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \hfill \cr   dv = dx \hfill \cr}  \right.\).

Giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) \hfill \cr   dv = dx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = {{1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \over {x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx \hfill \cr   v = x \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = {{{{x + \sqrt {{x^2} + 1} } \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \over {x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx = {{dx} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \hfill \cr   v = x \hfill \cr}  \right.\)

 \( \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \int {{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}dx}  + {C_1}.\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow tdt = xdx \Rightarrow \int {{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}dx}  = \int {{{tdt} \over t}}  = \int {dt}  = t + {C_2} = \sqrt {{x^2} + 1}  + {C_2}\)

Khi đó ta có:  \( \Rightarrow I = x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1}  + C.\)

Chọn A.