Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đườ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm các cận của tích phân.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm là \(\left( {e + 1} \right)x = \left( {{e^x} + 1} \right)x \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   e + 1 = {e^x} + 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   x = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra diện tích cần tính là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{e^x} + 1} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}x - ex} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|{\rm{d}}x} .\)

Với

\(\eqalign{  & x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow x\left( {{e^x} - e} \right) \le 0 \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {x\left( {e - {e^x}} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {ex\,{\rm{d}}x}  - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x}   \cr   &  = {{e{x^2}} \over 2}\left| \matrix{  ^1 \hfill \cr   _0 \hfill \cr}  \right. - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x}  = {e \over 2} - \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x} . \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   dv = {e^x}dx \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  du = dx \hfill \cr   v = {e^x} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {x{e^x}\,{\rm{d}}x}  = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = \left. {\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = 1.\)

Vậy \(S = {e \over 2} - 1 \Rightarrow m = 2.\)

Chọn D.