Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Giải chi tiết:

\({{x}^{2}}+3y=0\Leftrightarrow y=-\frac{{{x}^{2}}}{3}\)

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

\(-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}=-\frac{{{x}^{2}}}{3}\Leftrightarrow 3\sqrt{4-{{x}^{2}}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 0\le {{x}^{2}}\le 4 \\ & {{x}^{4}}+9{{x}^{2}}-36=0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\pm \,\sqrt{3}.\)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\,\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| {{\left( -\,\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( -\,\frac{{{x}^{2}}}{3} \right)}^{2}} \right|\,\text{d}x.}\)

\(=\pi \int\limits_{-\,\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left| \left( 4-{{x}^{2}} \right)-\frac{{{x}^{4}}}{9} \right|\text{d}x}=\left| \pi \left. \left( 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{45} \right) \right|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \right|=2\pi \left( 4\sqrt{3}-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{5} \right)=\frac{28\pi \sqrt{3}}{5}\)

Vậy \(V=\frac{28\pi \sqrt{3}}{5}=\frac{a\pi \sqrt{3}}{b}\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=28 \\ & b=5 \\\end{align} \right.\Rightarrow T=a+b=28+5=33.\)

Chọn A.