Có bao nhiêu giá trị m nguyên để...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\).

- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

Giải chi tiết:

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1\)

Thay vào phương trình ta có: \(1 - m.0 - 3.0 = 2m\, \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2} \notin Z \Rightarrow \)loại

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{ & {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - m{{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = {{2m} \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - m\tan x - 3 = 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){\tan ^2}x + m\tan x + 2m + 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(\tan x = t\) khi đó phương trình có dạng  \(\left( {2m - 1} \right){t^2} + mt + 2m + 3 = 0\)

\(m = {1 \over 2} \notin Z \Rightarrow \)loại

\(m \ne {1 \over 2}\) ta có:  \(\Delta  = {m^2} - 4\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 16{m^2} - 16m + 12 =  - 15{m^2} - 16m + 12\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {{ - 8 - 2\sqrt {61} } \over {15}} \le m \le {{ - 8 + 2\sqrt {61} } \over {15}}\). Mà  \(m \in Z \Rightarrow \left\{ \matrix{m = - 1 \hfill \cr m = 0 \hfill \cr} \right.\)

Chọn C.