Phương trình \(2{\cos ^3}x = \sin 3x\) có nghiệm l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{3}}x\).

Giải chi tiết:

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \sin x =  \pm 1\)

Thay \(\sin x = 1\) vào phương trình ta có:\(2.0 = 3.1 - 4.1 \Leftrightarrow 0 =  - 1\,\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

 Thay \(\sin x=-1\) vào phương trình ta có:\(2.0 = 3\left( { - 1} \right) - 4\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow 0 = 1\,\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được:

\(\eqalign{ & 2 = 3{{\sin x} \over {\cos x}}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} - 4{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^3}x}} \Leftrightarrow 2 = 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 4{\tan ^3}x \cr & \Leftrightarrow {\tan ^3}x - 3\tan x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\tan x + 2} \right){\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{\tan x = - 2 \hfill \cr \tan x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Chọn D.