Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi biến số với tích phân hàm ẩn và kết hợp với điều kiện hàm số chẵn \(f\left( x \right)=f\left( -\,x \right)\)

Giải chi tiết:

Ta có \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f(x).g(x)\,\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{1}{f(x).\left[ 1-g(-\,x) \right]\,\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{1}{f(x)\,\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{1}{f(x).g(-\,x)\,\text{d}x}\)

Đặt \(t=-\,x\Leftrightarrow \text{d}t=-\,\text{d}x\) và đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow t = 1\\x =1 \Rightarrow t =  - 1\end{array} \right..\)

Khi đó \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f(x).g(x)\,\text{d}x}=-\,\int\limits_{1}^{-\,1}{f(-\,t).g\left( -\,t \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{-\,1}^{1}{f(t).g\left( -\,t \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{-\,1}^{1}{f(x).g\left( -\,x \right)\,\text{d}x}\).

Vì \(f(x)\) là hàm số chẵn \(\int\limits_{-\,1}^{1}{f(x)\,\text{d}x}=2\,\,\times \,\,\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=4036.\)

Vậy \(I=4036-I\,\,\xrightarrow{{}}\,\,2I=4036\Rightarrow \,\,I=2018.\)

Chọn A