Tìm số tất cả các giá trị nguyên của tham số thực...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, từ điều kiện x suy ra điều kiện ẩn phụ và cô lập m đưa về hàm một biến biện luận số nghiệm của phương trình

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sin 2x\) mà \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)\)\(\Rightarrow \,\,t\in \left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right).\) Mà \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1 \Rightarrow \,\,{\cos ^2}2x = 1 - {t^2}.\)

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: \(2{{t}^{3}}+\left( t+2 \right)m+4=4\left( 1-{{t}^{2}} \right)\Leftrightarrow m=-\frac{2{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}}{t+2}=-2{{t}^{2}}.\)

Để phương trình \(m=-2{{t}^{2}}\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\Rightarrow \,\,-2.{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}<m<0\Rightarrow -\frac{3}{2}<m<0\)

Kết hợp với \(m \in Z\, \Rightarrow \,m =  - 1\) là giá trị cần tìm.

Chọn C.