Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến, có đạo...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(f\left( x \right)={{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\), dựa vào các dữ kiện đã cho, tìm a, b, c. Từ đó tính \(f\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(f\left( x \right)={{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\) ta có:

\(\begin{align}  f'\left( x \right)=\left( 2ax+b \right){{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}};f''\left( x \right)=2a.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}+{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \\  \Rightarrow {{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-f\left( x \right)f''\left( x \right)+{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left( {{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right)}^{2}}-{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}\left[ 2a.{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}+{{\left( 2ax+b \right)}^{2}}{{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right]+{{\left[ \left( 2ax+b \right){{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right]}^{2}} \\  ={{\left( {{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}} \right)}^{2}}\left[ 1-2a \right]=0\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Leftrightarrow a=\frac{1}{2} \\ \end{align}\)Khi đó hàm số có dạng  \(f\left( x \right)={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{2}}+bx+c}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {e^c} = 1\\f\left( 2 \right) = {e^{2 + 2b + c}} = {e^6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{1}{2}{x^2} + 2x}} \Rightarrow f\left( 1 \right) = {e^{\frac{5}{2}}}\)

Chọn D.