1. Cho n là số tự nhiên...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. +) Viết khai triển của tổng \({\left( {x + 2} \right)^n}\), thay \(x = 1\) và tìm n.

    +) Thay n vừa tìm được, tìm số hạng thứ 2 của khai triển \({\left( {{x^2} - \frac{3}{x}} \right)^n}\), sau đó tìm x.

2. +) Tính số phần tử của không gian mẫu

    +) Tính số phần tử của biến cố.

    +) Tính xác suất của biến cố.

Giải chi tiết:

1. Xét tổng \({\left( {x + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{2^k}}  = C_n^0.{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}}{2^1} + C_n^2{x^{n - 2}}{2^2} + ... + C_n^n{2^n}\)

Thay \(x = 1\) ta có: \({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 59049 \Rightarrow n = 10\)

Ta có: \({\left( {{x^2} - \frac{3}{x}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{10 - k}}{{\left( { - \frac{3}{x}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{ - k}}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{20 - 3k}}} \)

Số hạng thứ 3 trong khai triển trên là \(C_{10}^2{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{14}} = \frac{{81}}{2}n = \frac{{81}}{2}.10 = 405\)

                                                          \( \Leftrightarrow 405.{x^{14}} = 405 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Vậy \(x = 1\) hoặc \(x =  - 1\).

2. Số cách chọn 4 sản phẩm bất kì (2sp lô I + 2sp lô II) là \(C_{15}^2.C_{15}^2\) cách \( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = C_{15}^2.C_{15}^2\)

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ lô I là \(C_{10}^2 = 45\)

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ lô II là \(C_{12}^2 = 66\)

Gọi A là biến cố: “ cả 4 sản phầm được chọn ra đều là sản phẩm tốt”

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 45.66 = 2970\)

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{2970}}{{C_{15}^2.C_{15}^2}} = \frac{{66}}{{245}}\).