Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên bán kính OC...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰

c) Chứng minh ADBE là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

d) Chứng minh \(MI\bot O'I\).

Giải chi tiết:

a) \(\widehat{ADC}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) \(\Rightarrow \widehat{ADC}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại D.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có \(M{{D}^{2}}=MA.MC=4.9=36\Rightarrow MD=6\,\,\left( cm \right)\)

Xét tam giác vuông MDA có \(\tan A=\frac{MD}{MA}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\).

b) Xét tứ giác BMDI có \(\widehat{BID}+\widehat{BMD}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác BMDI là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

c) Ta có \(AB\bot DE\) tại M \(\Rightarrow M\) là trung điểm của DE (quan hệ vuông góc đường kính và dây cung), lại có M là trung điểm của AB (gt) nên ADBE là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Mà \(AB\bot DE\,\,\left( gt \right)\Rightarrow ADBE\) là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc).

\(\Rightarrow BE//AD\). Mà \(AD\bot CD\Rightarrow BE\bot CD\).

Lại có \(BI\bot CD\,\,\left( gt \right)\Rightarrow I;B;E\) thẳng hàng.

d) Xét tam giác vuông DIE có MI là đường trung tuyến \(\Rightarrow MI=\frac{1}{2}DE=ME\Rightarrow \Delta MIE\) cân tại M.

\(\Rightarrow \widehat{MIE}=\widehat{MEI}\).

Ta có \(\widehat{MEI}=\widehat{AED}=\widehat{ACD}\Rightarrow \widehat{MIE}=\widehat{ACD}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét tam giác O’IB có O’I = O’B \(\Rightarrow \Delta O'IB\) cân tại \(O'\Rightarrow \widehat{O'IB}=\widehat{O'BI}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{MIE}+\widehat{O'IB}=\widehat{ACD}+\widehat{O'BI}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{O'IM}={{90}^{0}}\Rightarrow IM\bot O'I\) tại I.

\(\Rightarrow MI\) là tiếp tyến của đường tròn\(\left( O' \right)\) tại I.

Chọn D