Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài đường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác OAMB có tổng hai góc đối bằng 90⁰.

b) Chứng minh AE và MO cùng vuông góc với AB.

c) Chứng minh hai tam giác MNF và ANM đồng dạng.

d) Chứng minh tam giác HNF vuông tại F, từ đó chứng minh hai tam giác NFH và NHA đồng dạng, kết hợp với kết quả của ý c) suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

1)     Do MA, MB là các tiếp tuyến của (O)

\( \Rightarrow OA \bot MA;\,\,OB \bot MB \Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {OBM} = {90^0}\)

Xét tứ giác OAMB có \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)  Tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

2) \(\widehat {EAB}\) là tứ giác nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) \( \Rightarrow \widehat {EAB} = {90^0} \Rightarrow AE \bot AB\)

Mà \(MO \bot AB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow AE//MO\) (cùng vuông góc với AB).

3) Ta có \(\widehat {AFE} = \widehat {ABE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

\(\widehat {ABE} = \widehat {OMB}\) (cùng phụ \(\widehat {MBH}\))

\(\widehat {OMB} = \widehat {OMA}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {OMA}\)

Lại có \(\widehat {AFE} = \widehat {MFN}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {MFN} = \widehat {OMA}\)

Xét \(\Delta MNF\) và \(\Delta ANM\) có \(\widehat {ANM}\) chung, $\widehat{MFN}=\widehat{OMA}\,\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta MNF\backsim \Delta ANM\,\,\left( g.g \right)$

\( \Rightarrow \frac{{MN}}{{NA}} = \frac{{NF}}{{MN}} \Rightarrow M{N^2} = NF.NA\,\,\,\left( 1 \right)\)

d) $\Delta MNF\backsim \Delta ANM\ \ \left( g-g \right)\Rightarrow \widehat{FMN}=\widehat{MAN}$ (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {MAN} = \widehat {ABF}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AF)

\( \Rightarrow \widehat {FMN} = \widehat {ABF} \Rightarrow \) Tứ giác BHFM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {MFB} = \widehat {MHB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB). Mà \(\widehat {MHB} = {90^0}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \widehat {MFB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {MFN} + \widehat {NFB} = {90^0}\).

Tứ giác BHFM nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {BFH} = \widehat {BMH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH).

Mà \(\widehat {MFN} = \widehat {OMA}\,\,\left( {cmt} \right);\,\,\widehat {OMA} = \widehat {BMH} \Rightarrow \widehat {MFN} = \widehat {BMH}\)

\( \Rightarrow \widehat {BFH} = \widehat {MFN}\)

\( \Rightarrow \widehat {BFH} + \widehat {NFB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {NFH} = {90^0}\)

Xét \(\Delta NFH\) và \(\Delta NHA\) có \(\widehat {ANH}\) chung, \(\widehat {NFH} = \widehat {NHA} = {90^0}\)

$\Rightarrow \Delta NFH\backsim \Delta NHA\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{NF}{NH}=\frac{NH}{NA}\Rightarrow N{{H}^{2}}=NF.NA\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MN = NH\).