Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(xy + yz + zx = 3xyz\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{xy}}{{xyz}} + \frac{{yz}}{{xyz}} + \frac{{zx}}{{xyz}} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3.\end{array}\)

Lại có: \(3xyz = xy + yz + zx\mathop  \ge \limits^{Co - si} 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} \Rightarrow xyz \ge 1.\)

\( \Rightarrow x + y + z \ge 3.\)

Ta có: \(\frac{{{x^3}}}{{z + {x^2}}} = x - \frac{{xz}}{{z + {x^2}}}\mathop  \ge \limits^{Co - si} x - \frac{{xz}}{{2\sqrt {z{x^2}} }} = x - \frac{{\sqrt z }}{2} \ge x - \frac{{z + 1}}{4}.\left( {Do\,\,z + 1 \ge 2\sqrt z  \Rightarrow \sqrt z  \le \frac{{z + 1}}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt z }}{2} \le \frac{{z + 1}}{2} \Rightarrow  - \frac{{\sqrt z }}{2} \ge \frac{{z + 1}}{2}} \right)\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{y^3}}}{{x + {y^2}}} \ge y - \frac{{x + 1}}{4}\\\frac{{{z^3}}}{{y + {z^2}}} \ge z - \frac{{y + 1}}{4}\end{array} \right..\)

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{{{x^3}}}{{z + {x^2}}} + \frac{{{y^3}}}{{x + {y^2}}} + \frac{{{z^3}}}{{y + {z^2}}} \ge x + y + z - \frac{{x + y + z + 3}}{4} \ge 3 - \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right).\) (đpcm)