Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: \(...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức : \({x^2} + {y^2} \ge 2xy,\,\,\,\,{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + b + \frac{3}{4} = {a^2} + \frac{1}{4} + b + \frac{1}{2}\mathop  \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{a^2}.\frac{1}{4}}  + b + \frac{1}{2} = a + b + \frac{1}{2}\\{b^2} + a + \frac{3}{4} = {b^2} + \frac{1}{4} + a + \frac{1}{2}\mathop  \ge \limits^{Co\,si} 2\sqrt {{b^2}.\frac{1}{4}}  + a + \frac{1}{2} = a + b + \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right) \ge {\left( {a + b + \frac{1}{2}} \right)^2}\end{array}\)

Mà \({\left( {a + b + \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {a + \frac{1}{4} + b + \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 4\left( {a + \frac{1}{4}} \right)\left( {b + \frac{1}{4}} \right) = \left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\left( {2b + \frac{1}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\left( {{a^2} + b + \frac{3}{4}} \right)\)\(\left( {{b^2} + a + \frac{3}{4}} \right)\) \( \ge \) \(\left( {2a + \frac{1}{2}} \right)\)\(\left( {2b + \frac{1}{2}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).