Tổng các nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 3...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({\log _a}{x^2} = 2{\log _a}\left| x \right|,\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,x \ne 0} \right)\)

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {x - 2} \right) + 2{\log _3}\left| {x - 4} \right| = 0\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left[ {\left( {x - 2} \right)\left| {x - 4} \right|} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left| {x - 4} \right| = 1\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) \(x > 4\), khi đó: \((*) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 2 \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3 - \sqrt 2 \,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

+) \(x < 4\), khi đó: \((*) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \(x = 3 + \sqrt 2 ,\,\,x = 3\). Tổng các nghiệm đó là: \(3 + \sqrt 2  + 3 = 6 + \sqrt 2 \).

Chọn: D