Phương trình \({e^x} - {e^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

Phương trình \({e^x} - {e^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có nghiệm trong khoảng nào sau đây?

 \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).                                

 \(\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\).                                

 \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).                                

 \(\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).

Câu 44:

Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Cách giải:

Điều kiện : \(x \ge  - \frac{1}{2}\)

\({e^x} - {e^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1}  \Leftrightarrow 2x + 1 + 2\sqrt {2x + 1}  + 1 + {e^{\sqrt {2x + 1} }} = {x^2} + 2x + 1 + {e^x} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)^2} + {e^{\sqrt {2x + 1} }} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {e^x}\)Xét hàm số \(y = {\left( {x + 1} \right)^2} + {e^x} \Rightarrow y' = 2\left( {x + 1} \right) + {e^x} = 2x + 1 + {e^x} + 1 > 0,\,\,\forall x \ge  - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Phương trình đã cho tương đương: \(\sqrt {2x + 1}  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2x + 1 = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2  \in \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)

Chọn: B