Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định chân đường cao và khoảng cách điểm bằng phương pháp thay thế

Giải chi tiết:

Ta có \(d\left( C,\left( SAB \right) \right)=2d\left( H,\left( SAB \right) \right)\).

Gọi \(H\), \(M\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(AB\). Gọi \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(SM\).

Do \(\Delta \,SBC\) đều \(\Rightarrow \)\(SH\bot BC\) mà \(\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)\)\(\Rightarrow \)\(SH\bot \left( ABC \right)\).

Ta có: \(\left. \begin{align}  & AB\bot SH \\ & AB\bot HM \\ \end{align} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SHM \right)\) và \(\left. \begin{align} & HK\bot SM \\  & HK\bot AB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)\).

Suy ra \(d\left( H;\,\left( SAB \right) \right)=HK\). Mặt khác, ta có :

\(HM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.BC.sin30{}^\circ =\frac{a}{4}\) và \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}=\frac{52}{3{{a}^{2}}}\)\(\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{39}}{26}\).

Suy ra \(d\left( C;\,\left( SAB \right) \right)=\frac{a\sqrt{39}}{13}\).

Chọn B