Tìm tham số m để phương trình \({\log _{\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa các logarit về cùng cơ số.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\mx > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\m > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _{\sqrt {2018} }}\left( {x - 2} \right) = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{{{2018}^{\frac{1}{2}}}}}\left( {x - 2} \right) = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\log _{2018}}\left( {x - 2} \right) = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{2018}}{\left( {x - 2} \right)^2} = {\log _{2018}}\left( {mx} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = mx\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 4 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow pt\left( * \right)\) có nghiệm kép lớn hơn 2 hoặc \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < 2 < {x_2}\).

TH1: \(\left( * \right)\) có nghiệm kép lớn hơn 2 \( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {m + 4} \right)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 8\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)

TH2: \(\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < 2 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 2 < 0 < {x_2} - 2\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 8\end{array} \right.\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 8\end{array} \right.\\4 - 2\left( {m + 4} \right) + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Chọn đáp án C.