Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: $OH \cap \left( {SBC} \right) = E \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{EO}}{{EH}}$ . Vì H là trung điểm của AD, ABCD là hình thang cân nên E là trung điểm của BC và $HE \bot BC$

Lại có: $AD//BC \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{EC}}{{AH}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{a} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}BC \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BC \bot HE\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SHE} \right)$

Trong (SHE) kẻ

$\Rightarrow \left. \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot BC\left( {BC \bot \left( {SHE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK$

Trong (ABCD) kẻ  

Ta có: $AF = \dfrac{{AD - BC}}{2} = \dfrac{{2a - a}}{2} = \dfrac{a}{2}$

Xét tam giác vuông ABF có: $BF = \sqrt {A{B^2} - A{F^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = HE$

Tứ giác BCDH là hình bình hành ($BC//DH;BC = DH$) $\Rightarrow BH = CD = a$

$SH \bot \left( {ACBD} \right) \Rightarrow SH \bot HB \Rightarrow \Delta SHB$ vuông tại H $\Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {2{a^2} - {a^2}}  = a$

Vì $SH \bot \left( {ACBD} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE$vuông tại H

$\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{H{S^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{3{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = a\sqrt {\dfrac{3}{7}}$

$\Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}a\sqrt {\dfrac{3}{7}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{3\sqrt 7 }}$

Chọn C.