Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: \(OH \cap \left( {SBC} \right) = E \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{EO}}{{EH}}\) . Vì H là trung điểm của AD, ABCD là hình thang cân nên E là trung điểm của BC và \(HE \bot BC\)

Lại có: \(AD//BC \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{OH}} = \dfrac{{EC}}{{AH}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{a} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BC \bot HE\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SHE} \right)\)

Trong (SHE) kẻ

\( \Rightarrow \left. \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot BC\left( {BC \bot \left( {SHE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\)

Trong (ABCD) kẻ  

Ta có: \(AF = \dfrac{{AD - BC}}{2} = \dfrac{{2a - a}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông ABF có: \(BF = \sqrt {A{B^2} - A{F^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = HE\)

Tứ giác BCDH là hình bình hành (\(BC//DH;BC = DH\)) \( \Rightarrow BH = CD = a\)

\(SH \bot \left( {ACBD} \right) \Rightarrow SH \bot HB \Rightarrow \Delta SHB\) vuông tại H \( \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {2{a^2} - {a^2}}  = a\)

Vì \(SH \bot \left( {ACBD} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE\)vuông tại H

\(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{H{S^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{3{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = a\sqrt {\dfrac{3}{7}} \)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}a\sqrt {\dfrac{3}{7}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{3\sqrt 7 }}\)

Chọn C.