Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) với \(AB =...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Dựa vào các công thức tính diện tích tam giac ABC tính AE.

+) Tính EC, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác tính khoảng cách từ E đến (SAC).

Giải chi tiết:

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot AC\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}EH \bot AC\\EH \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow EH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {E;\left( {SAC} \right)} \right) = EH\end{array}\)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác ABC ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.cos\widehat {BAC}}  = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} - 2.a.2a.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}  = a\sqrt 7 \)

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AE.BC = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} \Rightarrow AE = \dfrac{{AB.AC.\sin \widehat {BAC}}}{{BC}} = \dfrac{{a.2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 7 }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

Xét tam giác vuông AEC có: \(EC = \sqrt {A{C^2} - A{E^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{3}{7}{a^2}}  = \dfrac{{5a\sqrt 7 }}{7}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{E{H^2}}} = \dfrac{1}{{E{A^2}}} + \dfrac{1}{{E{C^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}} + \dfrac{7}{{25{a^2}}} = \dfrac{{196}}{{75{a^2}}} \Rightarrow EH = \dfrac{{5a\sqrt 3 }}{{14}}\)

Chọn D.