Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng  \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \) ta có: \(\Delta \bot \left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}={{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\)

+) Gọi \(A=\Delta \cap {{d}_{1}};B=\Delta \cap {{d}_{2}}\), tham số hóa tọa độ điểm A, B.

+) Thử trực tiếp các đáp án bằng cách thay điểm A, B ở trên vào phương trình đường thẳng ở từng đáp án và rút ra kết luận.

Giải chi tiết:

Cách 1:

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \) . Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}={{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 1;2;3 \right)\)

Khi đó phương trình đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(\dfrac{x-{{x}_{0}}}{1}=\dfrac{y-{{y}_{0}}}{2}=\dfrac{z-{{z}_{0}}}{3}\)

Gọi

\(\begin{align}  & A={{d}_{1}}\cap \Delta \Rightarrow A\left( 3-t;3-2t;-2+t \right) \\  & B={{d}_{2}}\cap \Delta \Rightarrow B\left( 5-3t';-1+2t';2+t' \right) \\ \end{align}\)

Ta thử từng đáp án:

Đáp án A: 

\(\begin{array}{l}
A \in \Delta \Rightarrow \dfrac{{3 - t - 1}}{1} = \dfrac{{3 - 2t + 1}}{2} = \dfrac{{ - 2 + t}}{3}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{2 - t}}{1} = \dfrac{{4 - 2t}}{2} = \dfrac{{ - 2 + t}}{3} \Leftrightarrow 12 - 6t = - 4 + 2t \Leftrightarrow t = 2\\
\Rightarrow A\left( {1; - 1;0} \right)\\
B \in \Delta \Rightarrow \dfrac{{5 - 3t' - 1}}{1} = \dfrac{{ - 1 + 2t' + 1}}{2} = \dfrac{{2 + t'}}{3}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{4 - 3t'}}{1} = t' = \dfrac{{t' + 2}}{3} \Leftrightarrow t' = 1 \Rightarrow B\left( {2;1;3} \right)
\end{array}\)

Vậy đáp án A có đường thẳng \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}\) vuông góc với mp(P) và cắt d₁ tại\(A\left( 1;-1;0 \right)\) , cắt d₂ tại \(B\left( 2;1;3 \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2:

Gọi đường thẳng cần tìm là d.

Gọi \(A = d \cap {d_1} \Rightarrow A\left( { - t + 3; - 2t + 3;t - 2} \right)\); \(B = d \cap {d_2} \Rightarrow B\left( { - 3t' + 5;2t' - 1;t' + 2} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3t' + t + 2;2t' + 2t - 4;t' - t + 4} \right)\)

Ta có \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;2;3} \right)\). Do \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow \) hai vector \(\overrightarrow {AB} \) và \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\) cùng phương

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{ - 3t' + t + 2}}{1} = \dfrac{{2t' + 2t - 4}}{2} = \dfrac{{t' - t + 4}}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6t' + 2t + 4 = 2t' + 2t - 4\\ - 9t' + 3t + 6 = t' - t + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8t' =  - 8\\ - 10t' + 4t =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 1\\t = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow A\left( {1; - 1;0} \right);B\left( {2;1;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right)\end{array}\)

Vậy \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{z}{3}\)  

Chọn A.