Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

\(A;B \in \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {AB}  = 0\)

\(\cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

\(A;B \in \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {AB}  = 0\), ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;3} \right) \Rightarrow a + b + 3c = 0 \Rightarrow a =  - b - 3c\)

Ta có \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;2;1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right);\,\,\left( Q \right)\) bằng \({60^0}\) ta có

\(\eqalign{  & \cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}};\overrightarrow n } \right)} \right| = {{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}.\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos {60^0} = {{\left| {a + 2b + c} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow 4{\left( {a + 2b + c} \right)^2} = 6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 4{\left( { - b - 3c + 2b + c} \right)^2} = 6\left( {{{\left( { - b - 3c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 4{\left( {b - 2c} \right)^2} = 6\left( {2{b^2} + 6bc + 10{c^2}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 4{b^2} - 16bc + 16{c^2} = 12{b^2} + 36bc + 60{c^2}  \cr   &  \Leftrightarrow 8{b^2} + 52bc + 44{c^2} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  b =  - c \hfill \cr   b =  - {{11} \over 2}c \hfill \cr}  \right. \cr} \)

TH1 : \(b =  - c \Rightarrow a =  - b - 3c =  - 2c \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - 2c; - c;c} \right) =  - c\left( {2;1; - 1} \right) \Rightarrow \left( {2;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\), do đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x + y - z + 4 = 0\).

TH2 : \(b =  - {{11} \over 2}c \Rightarrow a =  - b - 3c = {5 \over 2}c \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {{5 \over 2}c; - {{11} \over 2}c;c} \right) = {c \over 2}\left( {5; - 11;2} \right) \Rightarrow \left( {5; - 11;2} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( Q \right)\), do đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,5x - 11y + 2z - 8 = 0\).

Chọn A.