Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( m-1 \right)x-{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m=-1\) và giải phương trình bậc hai.

b) Chứng minh \(\Delta >0\,\,\forall m\Rightarrow \) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Sử dụng định lí Vi-et: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)

Giải chi tiết:

a) Thay \(m=-1\), khi đó phương trình có dạng

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - 3
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy với \(m=-1\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=-3\) và \(x=1.\)

b) Ta có: \(\Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}-4\left( -{{m}^{2}}+m-1 \right)={{\left( m-1 \right)}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)\) Vì \({{m}^{2}}-m+1={{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0\,\,\forall m;\,\,{{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall m\Rightarrow \Delta >0\,\,\forall m\).

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, giả sử hai nghiệm đó là \({{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}}\,\,\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\), theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m-1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-1 \\ \end{align} \right.\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( \left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right| \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=4\,\,\,\left( * \right)\)

Vì \({{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-1=-\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)<0\,\,\forall m\Rightarrow \left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=-{{x}_{1}}{{x}_{2}}.\) 

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} = 4\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m - 1 = 2\\
m - 1 = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(m\in \left\{ -1;3 \right\}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D