Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left| {{x^2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \({x^2} - \sqrt 2 x = t\), đưa về phương trình ẩn t, phá trị tuyệt đối và giải từng trường hợp bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

Đặt \({x^2} - \sqrt 2 x = t\) khi đó \({\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)\,\,\,(t >  - 2;t \ne 0)\)

Đặt \({\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ \matrix{  |t| = {3^a} \hfill \cr   t + 2 = {5^a} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left| {{5^a} - 2} \right| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {5^a} - 2 =  - {3^a} \hfill \cr   {5^a} - 2 = {3^a} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  {5^a} + {3^a} = 2\,\,\,(1) \hfill \cr   {5^a} = {3^a} + 2\,\,\,(2) \hfill \cr}  \right.\)

Xét (1): \(f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0\,\,\,(\forall a \in R)\) nên hàm số đồng biến trên R

Mặt khác f(0) = 2 do đó phương trình f(a) = f(0) có 1 nghiệm duy nhất \(a = 0{\rm{ }} \Rightarrow t =  - 1.\)

Suy ra: \({x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0\) (vô nghiệm)

Xét (2) \({5^a} = {3^a} + 2\, \Leftrightarrow {\left( {{3 \over 5}} \right)^a} + 2.{\left( {{1 \over 5}} \right)^a} = 1\).

Đặt \(g(a) = {\left( {{3 \over 5}} \right)^a} + 2.{\left( {{1 \over 5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {{3 \over 5}} \right)^a}\ln {3 \over 5} + 2.{\left( {{1 \over 5}} \right)^a}\ln {1 \over 5} < 0\,\,\,(\forall a \in R)\).

Nên hàm số \(g\left( a \right)\) nghịch biến trên R do đó phương trình \(g\left( a \right) = 1\) có tối đa 1 nghiệm. Mà \(g\left( a \right) = g\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = 1\). Suy ra \(t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Chọn B.