Mọi nghiệm của bất phương trình \({\log _4}\left(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Mọi nghiệm của bất phương trình này là nghiệm của bất phương trình kia khi và chỉ khi tập nghiệm của bất phương trình này là tập con của tập nghiệm của bất phương trình kia.

Giải bất phương trình ở đề bài bằng cách sử dụng các công thức

\({\log _{{a^n}}}x = {1 \over n}{\log _a}x,\,\,{\log _a}\left( {{x \over y}} \right) = {\log _a}x - {\log _a}y\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa) và giải các bất phương trình ở 4 đáp án sau đó rút ra kết luận.

Giải chi tiết:

ĐK: \({3^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {3^x} > 1 \Leftrightarrow x > {\log _3}1 = 0\)

\(\eqalign{  & {\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right).{\log _{{1 \over 4}}}\left( {{{{3^x} - 1} \over {16}}} \right) \le {3 \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right)\left[ { - {{\log }_4}\left( {{{{3^x} - 1} \over {16}}} \right)} \right] \le {3 \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right)\left[ { - {{\log }_4}\left( {{3^x} - 1} \right) + {{\log }_4}16} \right] \le {3 \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow  - \log _4^2\left( {{3^x} - 1} \right) + 2{\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right) - {3 \over 4} \le 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right) \ge {3 \over 2} \hfill \cr   {\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right) \le {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {3^x} - 1 \ge 8 \hfill \cr   {3^x} - 1 \le 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {3^x} \ge 9 \hfill \cr   {3^x} \le 3 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x \ge 2 \hfill \cr   x \le 1 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là  \(\left[ \matrix{  x \ge 2 \hfill \cr   0 < x \le 1 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án A: \(x\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{   - 2 \le x \le  - 1 \hfill \cr   x \ge 0 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án B: \(x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  0 \le x \le 1 \hfill \cr   x \ge 2 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án C: \(x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x \le 0 \hfill \cr   1 \le x \le 2 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án D: \(x\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x <  - 2 \hfill \cr    - 1 < x < 0 \hfill \cr}  \right.\)

Ta thấy tập nghiệm của bất phương trình là tập con của tập nghiệm của bất phương trình ở đáp án B.

Chọn B.