Cho O là một điểm bất kì nằm trong \(\Delt...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 - Kẻ thêm hình: Gọi giao điểm của AO và BC là M, giao điểm của BO và AC là I, giao điểm của CO và AB là N.

-        Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

-        Chứng minh: \(\left\{ \begin{align}  & OA+OB<AC+BC \\ & OA+OC<AB+BC \\ & OC+OB<AC+AB \\\end{align} \right.\)

Giải chi tiết:

Gọi giao điểm của AO và BC là M, giao điểm của BO và AC là I, giao điểm của CO và AB là N.

Xét \(\Delta BIC\) có: \(BI<IC+BC\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta AIO\) có: \(AO<IO+IA\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(BI+AO<IC+BC+IO+IA\).

Mà O nằm giữa B và I \(\Rightarrow BI=OB+OI\) và I nằm giữa A và C

\(\Rightarrow AC=AI+IC\)

Do đó ta có: \(OB+OI+AO<BC+AC+OI\Rightarrow OB+OA<AC+BC\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AMB\) có: \(AM<AB+BM\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta MCO\) có: \(OC<OM+MC\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(AM+OC<AB+BM+OM+MC\)

Mà O nằm giữa A và M \(\Rightarrow AM=OA+OM\) và M nằm giữa B và C \(\Rightarrow BC=MB+MC\)

Do đó ta có: \(OA+OM+OC<AB+BC+OM\Rightarrow OC+OA<AB+BC\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta ANC\) có: \(CN<AN+AC\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta BNO\) có: \(OB<ON+BN\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(CN+OB<AN+AC+ON+BN\)

Mà O nằm giữa C và N \(\Rightarrow NC=OC+ON\) và N nằm giữa A và B \(\Rightarrow AB=AN+NB\)

Do đó ta có: \(ON+OC+OB<AB+AC+ON\Rightarrow OB+OC<AB+AC\left( 3 \right)\)

Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\) ta được: \(2\left( OA+OB+OC \right)<2\left( AB+AC+BC \right)\Rightarrow OA+OB+OC<AB+AC+BC\left( 4 \right)\)

Mặt khác, trong các \(\Delta OAB\), \(\Delta OCB\), \(\Delta OAC\) theo bất đẳng thức tam giác ta có:\(\left\{ \begin{align} & OA+OB>AB \\  & OC+OB>BC \\  & OC+OA>AC \\ \end{align} \right.\)

Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

\(2\left( OA+OB+OC \right)>AB+AC+BC\Rightarrow OA+OB+OC>\frac{AB+AC+BC}{2}\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\) và\(\left( 5 \right)\Rightarrow \)\(\frac{AB+AC+BC}{2}<OA+OB+OC<AB+AC+BC\).