Nếu \(\sin a + \cos a =  - \dfrac{1}{5}\,\,\left(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Rút $\sin a$ theo $\cos a$, thế vào biểu thức ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1$ tìm $\cos a$, chú ý dấu của $\cos a$.

Từ đó tìm $\sin a$.

Tính $\sin 2a = 2\sin a\cos a,\,\,\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a$

Tính $\tan 2a = \dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}}$.

Giải chi tiết:

Ta có: $\sin a + \cos a =  - \dfrac{1}{5} \Rightarrow \sin a =  - \cos a - \dfrac{1}{5}$

Mà ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( { - \cos a - \dfrac{1}{5}} \right)^2} + {\cos ^2}a = 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a + \dfrac{2}{5}\cos a + \dfrac{1}{{25}} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos a = \dfrac{3}{5}\\\cos a =  - \dfrac{4}{5}\end{array} \right.\end{array}$

Vì $a \in \left( {{{135}^0};{{180}^0}} \right)$ nên $\cos a < 0 \Rightarrow \cos a =  - \dfrac{4}{5}$.

Khi đó ta có: $\sin a =  - \cos a - \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}$.

$\Rightarrow \sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\dfrac{3}{5}.\dfrac{{ - 4}}{5} = \dfrac{{ - 24}}{{25}}$.

     $\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = \dfrac{7}{{25}}$.

Vậy $\tan 2a = \dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \dfrac{{ - 24}}{7}$.

Chọn: D.