Nếu \(\sin a + \cos a =  - \dfrac{1}{5}\,\,\left(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Rút \(\sin a\) theo \(\cos a\), thế vào biểu thức \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\) tìm \(\cos a\), chú ý dấu của \(\cos a\).

Từ đó tìm \(\sin a\).

Tính \(\sin 2a = 2\sin a\cos a,\,\,\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\)

Tính \(\tan 2a = \dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}}\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\sin a + \cos a =  - \dfrac{1}{5} \Rightarrow \sin a =  - \cos a - \dfrac{1}{5}\)

Mà \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( { - \cos a - \dfrac{1}{5}} \right)^2} + {\cos ^2}a = 1\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a + \dfrac{2}{5}\cos a + \dfrac{1}{{25}} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos a = \dfrac{3}{5}\\\cos a =  - \dfrac{4}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Vì \(a \in \left( {{{135}^0};{{180}^0}} \right)\) nên \(\cos a < 0 \Rightarrow \cos a =  - \dfrac{4}{5}\).

Khi đó ta có: \(\sin a =  - \cos a - \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}\).

\( \Rightarrow \sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\dfrac{3}{5}.\dfrac{{ - 4}}{5} = \dfrac{{ - 24}}{{25}}\).

     \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = \dfrac{7}{{25}}\).

Vậy \(\tan 2a = \dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \dfrac{{ - 24}}{7}\).

Chọn: D.