Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuô...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của \(AC\,\,\Rightarrow A'I\bot \left( ABC \right)\).

Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với BC.

Qua I kẻ IH vuông góc với d tại H.

Ta có \(AH\parallel BC,\,\,AA'\parallel BB'\Rightarrow \left( A'AH \right)\parallel \left( BCC'B' \right)\).

\(\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=d\left( C;\left( A'AH \right) \right)=2.d\left( I;\left( A'AH \right) \right)\).

Qua I kẻ IK vuông góc với A’H tại K, ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AH \bot IH\\AH \bot A'I\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {A'HI} \right) \Rightarrow AH \bot IK\\\left\{ \begin{array}{l}IK \bot AH\\IK \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {A'AH} \right)} \right) = IK\end{array}\)

Tam giác \(A'HI\) vuông tại \(I\,\,\Rightarrow IK=\frac{A'I.IH}{\sqrt{A'{{I}^{2}}+I{{H}^{2}}}}\)

Dễ thấy \(\Delta AHI\backsim \Delta CAB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{HI}{AB}=\frac{AI}{BC}\Rightarrow HI=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2a}=\frac{\sqrt{3}a}{4}\)

\(\Rightarrow IK=\frac{\frac{3a}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}}=\frac{3a}{8}\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=\frac{3a}{4}.\)

Chọn C.