Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình c...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(mp\,\,\left( ABCD \right).\)

Ta có \(SA=SO\Rightarrow \,\,\Delta \,SHA=\Delta \,SHO\,\,\,\,\,\left( c\,\,-\,\,g\,\,-\,\,c \right)\Rightarrow \,\,HA=HO.\)

\(\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CAD}={{30}^{0}},OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=a\)

\(\Rightarrow \) \(\Delta \,HAO\) cân tại \(H,\) có

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAO} = {30^0}\\OA = a\end{array} \right. \Rightarrow HA = \frac{{\frac{1}{2}AO}}{{\cos 30}} = \frac{a}{2}:\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow HD = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Xác định góc

\(\widehat{\left( SD;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SDH}={{60}^{0}}\Rightarrow SH=HD.\tan 60=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=2a.\)

Qua \(B\) kẻ đường thẳng \(d\)//\(AC,\) \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(d.\)

\(\Rightarrow \)\(AC\)//\(\left( SBK \right)\)\(\Rightarrow \)\(d\left( SB;AC \right)=d\left( AC;\left( SBK \right) \right)=d\left( A;\left( SBK \right) \right).\)

Ta có : \(DB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow BO=a=BA\), có \(HA=HO\)

\(\Rightarrow HB\) là trung trực của AO \(\Rightarrow HB\bot AO\Rightarrow HB\bot D\)

Kẻ \(AF\bot d\,\,\left( F\in d \right)\) ta có : \(AF=BE\) 

\(\Rightarrow \frac{d\left( H;d \right)}{d\left( A;d \right)}=\frac{HB}{AF}=\frac{HB}{BE}=\frac{4}{3}\Rightarrow d\left( A;\left( SBK \right) \right)=\frac{3}{4}d\left( H  ;\left( SBK \right) \right)\)

Vậy \(d\left( A;\left( SBK \right) \right)=\frac{3}{4}.\frac{SH.HK}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\frac{3a}{4}\Rightarrow d\left( SB;AC \right)=\frac{3a}{4}.\)

Chọn D.