Phương trình \(\cos 2x+4\sin x+5=0\) có bao nhiêu...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp. Dùng công thức \(c\text{os}2x=1-2{{\sin }^{2}}x\) để đưa phương trình ban đầu về đa thức bậc \(2\) theo \(\sin x.\) Giải phương trình này tìm \(x\) và đối chiếu với yêu cầu \(x\in \left( 0;10\pi  \right)\) để tìm được giá trị của \(x.\)

Giải chi tiết:

 Ta có

\(\begin{align} \,\,\,\,\,\,\cos 2x+4\sin x+5=0 \\ \Leftrightarrow \left( 1-2{{\sin }^{2}}x \right)+4\sin x+5=0\\ \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-2\sin x-3=0 \\ \Leftrightarrow \left( \sin x+1 \right)\left( \sin x-3 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \operatorname{s}\text{inx}=-1 \\ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right). \\\end{align}\)

Do \(x\in \left( 0;10\pi  \right)\Rightarrow 0<-\frac{\pi }{2}+k2\pi <10\pi \,\left( k\in Z \right)\) \( \Rightarrow \frac{1}{4}<k<\frac{21}{4}\,\,\left( k\in Z \right)\Rightarrow k=1,2,3,4,5.\)

Do đó tập nghiệm của phương trình đã cho trên \(\left( 0;10\pi  \right)\) là \(\left\{ \frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}+4\pi ;-\frac{\pi }{2}+6\pi ;-\frac{\pi }{2}+8\pi ;-\frac{\pi }{2}+10\pi  \right\}.\)

Chọn đáp án A.