Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Dựa vào hệ quả của trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau

+ Từ các cặp cạnh tương ứng bằng nhau ta lập luận để suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Ta có:  \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)

Mà \({\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}\) vì tam giác ABD vuông tại D.

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\) (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).

Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) vì tam giác ACE vuông tại E

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với ).

Xét hai tam giác vuông BDA và AEC có:

\(\widehat D = \widehat E = {90^0};\,AB = AC\) (gt) và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra BD = AE (hai cạnh tương ứng), CE = AD (hai cạnh tương ứng).

Do đó DE = AD + AE = CE + BD.

b) Xét hai tam giác vuông BPA và AQC có:

\(\widehat P = \widehat Q = {90^0};\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\,\,\,\left( {cmt} \right);\,\,\,AB = AC\,\,\left( {gt} \right)\)(cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra BP = AQ (hai cạnh tương ứng)

CQ = AP (hai cạnh tương ứng).

Do đó: BP – CQ = AQ – AP = PQ.(đpcm)