Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|z|\), biết rằng \(z\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(z=x+yi\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(x,y\).

Áp dụng phương pháp hình học để tìm điều kiện cho \(\left| z \right|\) đạt GTNN.

Giải chi tiết:

Có \(\frac{4+2i}{1-i}=1+3i\). Đặt \(z=x+yi\) thì

\(\frac{4+2i}{1-i}z-1=(1+3i)(x+yi)-1=(x-3y-1)+(3x+y)i\)

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành

\({{(x-3y-1)}^{2}}+{{(3x+y)}^{2}}=1\)

\(\Leftrightarrow {{(x-3y)}^{2}}-2(x-3y)+1+{{(3x+y)}^{2}}=1\)

\(\Leftrightarrow 10{{x}^{2}}+10{{y}^{2}}-2x+6y=0\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-\frac{1}{5}x \right)+\left( {{y}^{2}}+\frac{3}{5}y \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{1}{10} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{3}{10} \right)}^{2}}=\frac{1}{10}\) (*)

Điểm biểu diễn \(M(x,y)\) của \(z\) chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm \(M(x,y)\) thuộc đường tròn này để \(OM\) nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua \(O\) nên min \(OM=0\) khi \(M\equiv O\) hay \(M\left( 0,0 \right)\), do đó \(z=0\) hay \(min\left| z \right|=0\).

Chọn B