Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho \(d:x=2...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy \(M\in d\) Tính biểu thức \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\) Biến về bài toán Min, Max

Giải chi tiết:

Phương trình tham số của \(d:x=2y=3z\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 3t\\z = 2t\end{array} \right.\)

Lấy \(M\in d\Rightarrow M\left( 6t;3t;2t \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {6t;3t;2t - 1} \right);\overrightarrow {BM}  = \left( {6t;3t - 1;2t} \right)\\ \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = \left[ {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {3t} \right)}^2} + {{\left( {2t - 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {3t - 1} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {49{t^2} - 4t + 1} \right) + \left( {49{t^2} - 6t + 1} \right) = 2\left( {49{t^2} - 5t + 1} \right)\end{array}\)

\( = 2\left[ {{{\left( {7t} \right)}^2} - 2.7t.\frac{5}{{14}} + {{\left( {\frac{5}{{14}}} \right)}^2}} \right] + \frac{{171}}{{98}} = 2\left[ {{{\left( {7t - \frac{5}{{14}}} \right)}^2}} \right] + \frac{{171}}{{98}} \ge \frac{{171}}{{98}}\)

Dấu = xảy ra khi \(7t - \frac{5}{{14}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{{98}} \Rightarrow M\left( {\frac{{15}}{{49}};\frac{{15}}{{98}};\frac{5}{{49}}} \right)\)

Chọn D