Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (2) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (1)

Giải chi tiết:

Phương trình (2)\(\Leftrightarrow xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-2xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\Leftrightarrow xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\)

\( \Leftrightarrow \left( {xy - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 1\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right.\)

Với \(xy=1\Leftrightarrow y=\frac{1}{x},\)thay vào (1) ta được: \({{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -1;-1 \right)\)là nghiệm của hệ.

Với \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2,\)từ (1) có

\(\begin{array}{l}3y\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 4x{y^2} + 2{x^2}y - 2\left( {x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6y - 4x{y^2} + 2{x^2}y - 2\left( {x + y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {xy - 1} \right)\left( {x - 2y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 1\\x = 2y\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(xy=1\) có \(\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -1;-1 \right)\)là nghiệm

Với \(x=2y,\) thay vào \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2,\) ta được \(5{{y}^{2}}=2\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\).

Suy ra  nghiệm của hệ phương trình là  \(\left( x;y \right)=\left( \frac{2\sqrt{10}}{5};\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -\frac{2\sqrt{10}}{5};-\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( -1;-1 \right)\),\(\left( 1;1 \right)\), \(\left( \frac{2\sqrt{10}}{5};\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\),\(\left( -\frac{2\sqrt{10}}{5};-\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\).

Chọn D.