Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Từ giả thiết ta lập được phương trình cạnh AC và A là giao điểm của AC và trung tuyến AM.

+) Lấy tham số hóa tọa độ điểm M của BC suy ra tọa độ điểm B, cho B thuộc BH tìm tọa độ đỉnh B.

Giải chi tiết:

Vì AC vuông góc với BH: x + 3y – 5 = 0 và đi qua đỉnh  nên AC có phương trình:

\(3\left( {x + 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 1 = 0\)

 \(A = AC \cap AM \Rightarrow \) Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ  \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 1 = 0\\5x + y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;4} \right)\)

Mặt khác, tọa độ trung điểm M của BC có dạng \(M\left( {t;9 - 5t} \right) \in AM\)

Điểm B đối xứng với C qua M

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_C} = 2t + 1\\{y_B} = 2{y_M} - {y_C} = 18 - 10t + 2 = 20 - 10t\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2t + 1;20 - 10t} \right)\)

\(B \in BH\) nên thay tọa độ điểm B vào phương trình BH ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {2t + 1} \right) + 3\left( {20 - 10t} \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow  - 28t + 56 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow B\left( {5;0} \right)\\ \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 \end{array}\)

Chọn C.