Gọi S là tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;2\p...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác có các cung bù nhau, phụ nhau, công thức \(\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\) để đưa về dạng phương trình đã biết cách giải.

Giải chi tiết:

\(\sin \left( 2x+\frac{9\pi }{2} \right)-3\cos \left( x-\frac{15\pi }{2} \right)=1+2\sin x\)

\(\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{2}+4\pi  \right)-3\cos \left( x-\frac{15\pi }{2}+6\pi  \right)=1+2\sin x\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)-3\cos \left( x+\frac{\pi }{2} \right)=1+2\sin x\)

\(\Leftrightarrow \cos 2x+3\sin x-2\sin x-1=0\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}x+\sin x-1=0\)

\( \Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \).

Các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;2\pi  \right]\) là \(0,\pi ,2\pi ,\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\)\(\Rightarrow S=0+\pi +2\pi +\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=4\pi \).

Chọn A.