a)      Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, nội tiếp...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(OQ = OK,\,\,HQ = HK \Rightarrow OH \bot OK\).

b) Chứng minh tâm (HCE) nằm trên AC vì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đã nằm trên AC.

Giải chi tiết:

a)                  Gọi giao điểm của DM và QK là H.

Xét tứ giác MQDK ta có :\(\left\{ \begin{array}{l}MQ//DK\\QD//MK\end{array} \right. \Rightarrow MQDK\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MQ = DK\\QD = MK\end{array} \right.\)  và \(H\) là trung điểm của \(DM\) và \(QK.\)

Theo đề bài ta có ngay:

\(OB = OD = R\),

\(\begin{array}{l}\widehat {OBD} = \widehat {ODC}\;\;\left( { = \widehat {ODB}} \right)\\BQ = QM = DK\\ \Rightarrow \Delta OBQ = \Delta ODK(c.g.c)\\ \Rightarrow OQ = OK.\\HQ = HK \Rightarrow OH \bot QK.\end{array}\)

Lại có OH là đường trung bình của tam giác DAM nên :

\(OH//AM \Rightarrow AM \bot QK.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta sẽ chứng minh tâm (HCE) nằm trên AC vì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC đã nằm trên AC.

Thật vậy :

Gọi M là giao điểm của (HCE) và AC ta có :

Dễ dàng chứng minh theo phương pháp cộng góc thì :

\(\widehat {ACH} = \widehat {BCO}\)

Lại có EHMC là tứ giác nội tiếp nên :

\(\widehat {DEC} = \widehat {HMC} \Rightarrow \widehat {HCM} + \widehat {HMC} = \widehat {DEC} + \widehat {ECD} = {90^0}\)

Do vậy :

Tứ giác MHEC nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Do đó : Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEC thuộc AC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.