a)      Giải bất phương trình: \(\left( {\frac{{x...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Điều kiện: \(x > 0.\)

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x  + 1}} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \frac{{x\sqrt x  + \sqrt x  + 1 - \sqrt x  - 1}}{{x + \sqrt x }}.\frac{{{{(\sqrt x  + 1)}^2}}}{{\sqrt x }} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \sqrt x (\sqrt x  + 1) \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow x + \sqrt x  - 2017 - \sqrt {2017}  \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - \sqrt {2017} } \right) + \left( {\sqrt x  + \sqrt {2017} } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt {2017} } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - \sqrt {2017} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {2017}  + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow x \ge 2017\;\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x  + \sqrt {2017}  + 1 > 0} \right).\end{array}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 2017.\)

a)                  Theo đề bài, với \(x,\;y > 0\)  ta có: \(x = 4y + \sqrt {2xy} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x}{y} = 4 + \sqrt {2.\frac{x}{y}}  \Rightarrow {t^2} - \sqrt 2 t - 4 = 0\;\;\left( {t = \sqrt {\frac{x}{y}}  > 0} \right)\\\Delta  = 2 + 4.4 = 18 \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 2  + \sqrt {18} }}{2} = 2\sqrt 2 \;\;\left( {do\;\;t > 0} \right).\\ \Rightarrow \sqrt {\frac{x}{y}}  = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{x}{y} = 8.\end{array}\)

Ta có: \(P = \frac{{\sqrt[3]{{xy}}.\left( {3\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y}} \right)}}{{\sqrt {2xy} }} = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^2}y}} - 2\sqrt[3]{{x{y^2}}}}}{{\sqrt {2xy} }} = \frac{{3\sqrt[3]{{\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}}} - 2\sqrt[3]{{\frac{x}{y}}}}}{{\sqrt {2.\frac{x}{y}} }}.\)

\( \Rightarrow P = \frac{{3.\sqrt[3]{{{8^2}}} - 2\sqrt[3]{8}}}{{\sqrt {2.8} }} = \frac{{3.4 - 2.2}}{4} = 2.\)

Vậy \(P = 2.\)