Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Xác định được khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) , dựa vào đó tìm được độ dài cạnh bên của lăng trụ sau đó áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}}\)

Giải chi tiết:

 Gọi H là trung điểm của BC ta có \(AH \bot BC\)

Lại có \(BC \bot AA'\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right)\)

Kẻ \(AK \bot A'H\) , lại có  \(AK \bot BC \Rightarrow AK \bot \left( {A'BC} \right) \Rightarrow {d_{A \to \left( {A'BC} \right)}} = AK = \dfrac{a}{2}\)

Ta có tam giác ABC đều, trung tuyến AH nên \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) ; \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Trong tam giác A’AH vuông tại A có AK là đường cao ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{AA{'^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{AA{'^2}}} = \dfrac{1}{{A{K^2}}} - \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} - \dfrac{4}{{3{a^2}}} = \dfrac{8}{{3{a^2}}}\\ \Rightarrow AA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\end{array}\)

Khi đó ta có: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{{16}}\)

Chọn đáp án B.