Cho tam giác ba góc nhọn ABC và một điểm O bất kì...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác, ta thu được các đẳng thức về các đoạn thẳng bằng nhau.

- Suy ra tỉ lệ các cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau, từ đó tìm ra cặp tam giác đồng dạng (điều phải chứng minh) và tìm ra tỉ lệ đồng dạng.

Giải chi tiết:

Theo giả thiết D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA nên DE, EF, FD là các đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có:

\(DE = \frac{1}{2}AC,\;EF = \frac{1}{2}AB,\;FD = \frac{1}{2}BC\;\;\;(1)\)

Mặt khác, M, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB và OC. Tương tự như trên, ta có MP, PQ, QM lần lượt là các đường trung bìnhcủa \(\Delta OAB,\;\Delta OBC,\;\Delta OCA\). Khi đó, ta có:

\(MP = \frac{1}{2}AB,\;PQ = \frac{1}{2}BC,\;QM = \frac{1}{2}AC\;\;\;(2)\)

Từ các đẳng thức (1) và (2) ta suy ra: \(DE = QM,\;EF = MP,\;FD = PQ\)Do đó ta có:

\(\frac{{DE}}{{QM}} = \frac{{EF}}{{MP}} = \frac{{FD}}{{PQ}} = 1\)

Vậy \(\Delta DEF \sim \Delta QMP\) (c - c - c) theo tỉ số đồng dạng k = 1, trong đó D, E, F lần lượt tương ứng với các đỉnh Q, M, P.