Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam g...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.\)

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:C

ho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\) 

- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\) 

- Sử dụng công thức tính tích có hướng: 

Cho hai vecto \(\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})\) ta có:\(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\) 

Giải chi tiết:

Cách làm:

Giả sử \(H(x;y;z)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right)\\\overrightarrow {AH} = \left( {x - 1;y;z} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {x;y - 1;z} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\end{array}\)

\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) khi ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - y + z = 0\\ - x + z = 0\\x + y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}\)

Chọn C