Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình ban đầu, đưa về hệ phương trình mới đơn giản với \(x + y = a;y - x + \frac{1}{{y - x}}\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne y\).

Hệ đã cho tương đương:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2{\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {y - x} \right)^2} - \frac{1}{{{{\left( {y - x} \right)}^2}}} + \frac{9}{8} = 0\\\left( {y - x + \frac{1}{{y - x}}} \right) + \left( {x + y} \right) + \frac{5}{4} = 0\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left( {x + y} \right)^2} - \left[ {{{\left( {y - x} \right)}^2} + 2 + \frac{1}{{{{\left( {y - x} \right)}^2}}}} \right] + 2 + \frac{9}{8} = 0\\\left( {y - x + \frac{1}{{y - x}}} \right) + \left( {x + y} \right) + \frac{5}{4} = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\left( {x + y} \right)^2} - {\left( {y - x + \frac{1}{{y - x}}} \right)^2} + \frac{{25}}{8} = 0\\\left( {y - x + \frac{1}{{y - x}}} \right) + \left( {x + y} \right) + \frac{5}{4} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\y - x + \frac{1}{{y - x}} = b;\,\,\left| b \right| \ge 2\end{array} \right.\), khi đó hệ phương trình trở thành:

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{a^2} - {b^2} = - \frac{{25}}{8}\\a + b = - \frac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{4} - b\\2{\left( { - \frac{5}{4} - b} \right)^2} - {b^2} = \frac{{ - 25}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{4} - b\\{b^2} + 5b + \frac{{25}}{4} = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{4} - b\\b = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{4}\\b = - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y + x = \frac{5}{4}\\y - x = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y + x = \frac{5}{4}\\y - x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{8};y = - \frac{3}{8}\\x = \frac{7}{8};y = \frac{3}{8}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{7}{8};\frac{3}{8}} \right),\,\,\left( {\frac{{13}}{8}; - \frac{3}{8}} \right)\).

Vậy đáp án đúng là C